Enunciado

16- Com relação ao exercício anterior, supondo π 2 < α < π , expresse d α d t em termos de θ   e d θ d t .

Passo 1

Inicialmente, notemos que, pela hipótese de que α ∈ ( π 2 , π ) , temos necessariamente que θ < π 2 .

Além disso, utilizaremos uma das consequências da desigualdade triangular que afirma que o maior lado é oposto ao maior ângulo.

Assim, chamamos de x o lado oposto ao ângulo θ .

Pela lei dos cossenos, segue que:

x 2 = 5 2 + 2 2 - 2.5 . 2 . c o s θ = 29 - 20 c o s θ

Portanto, temos que x = 29 - 20 c o s θ

Pela lei dos senos, temos:

s e n α 5 = s e n θ 29 - 20 c o s θ

Assim, tem-se que s e n α = 5 s e n θ 29 - 20 c o s θ .

Passo 2

Agora que encontramos s e n α , precisamos encontrar c o s α e para isso faremos uso teorema fundamental da trigonometria:

s e n 2 α + α = 1  

Substituindo s e n α :

25 s e n 2 θ   29 - 20 c o s θ + α = 1  

α   = 29 - 20 c o s θ - 25 s e n 2 θ 29 - 20 c o s θ

α =   4 - 20 c o s θ + θ   29 - 20 c o s θ

c o s α = 2 - 5 c o s θ 29 - 20 c o s θ

Dessa forma, temos que s e n α c o s α = 5 s e n θ 2 - 5 c o s θ .

Passo 3

Fazendo uso do corolário da desigualdade triangular mencionado, temos que x < 5 ⇔ 29 - 20 c o s θ < 5

Resolvendo a inequação, temos:

29 - 20 c o s θ < 25

4 < 20 c o s θ

c o s θ > 1 5

Separamos agora em dois casos, e estudaremos cada um separadamente:

1 5 < c o s θ < 2 5

c o s θ > 2 5

Note que no primeiro caso, temos que o valor do módulo 2 - 5 c o s θ = 2 - 5 c o s θ , enquanto no segundo caso temos 2 - 5 c o s θ = - ( 2 - 5 c o s θ ) .

Passo 4

Analisaremos agora o primeiro dos casos.

Da questão anterior, relembramos da expressão que relacionava os ângulos com suas variações:

2 . d α d t = 5 c o s θ - s e n α c o s α . s e n θ d α d t + d θ d t

Assim, substituiremos o valor de s e n α c o s α em cada um dos casos e isolaremos d α d t .

Quando 1 5 < c o s θ < 2 5 , temos que s e n α c o s α = 5 s e n θ 2 - 5 c o s θ .

Portanto, temos:

2 . d α d t = 5 c o s θ - 5 s e n θ 2 - 5 c o s θ . s e n θ d θ d t + d α d t

2 . d α d t = 5 2 c o s θ - 5 θ - 5 s e n 2 θ   2 - 5 c o s θ d θ d t + d α d t

2 . d α d t = 5 2 c o s θ - 5 2 - 5 c o s θ d θ d t + d α d t

2 . d α d t = 10 c o s θ - 25 2 - 5 c o s θ . d θ d t + 10 c o s θ - 25 2 - 5 c o s θ . d α d t

2 - 10 c o s θ - 25 2 - 5 c o s θ . d α d t = 10 c o s θ - 25 2 - 5 c o s θ . d θ d t

29 - 20 c o s θ . d α d t = 10 c o s θ - 25 . d θ d t

d α d t = 10 c o s θ - 25 29 - 20 c o s θ . d θ d t

Passo 5

Analisaremos agora o segundo caso.

2 . d α d t = 5 c o s θ + 5 s e n θ 2 - 5 c o s θ . s e n θ d α d t + d θ d t

Desenvolvendo:

2 . d α d t = 5 2 c o s θ - 5 θ +   5 s e n 2 θ 2 - 5 c o s θ d α d t + d θ d t

Como c o s 2 θ = θ - s e n 2 θ   , temos o seguinte:

2 . d α d t = 10 - 25 c o s 2 θ 2 - 5 c o s θ . d α d t + 10 - 25 c o s 2 θ 2 - 5 c o s θ . d θ d t

2 - 10 - 25 c o s 2 θ 2 - 5 c o s θ . d α d t = 10 - 25 c o s 2 θ 2 - 5 c o s θ . d θ d t

4 - 10 c o s θ - 10 + 25 c o s 2 θ 2 - 5 c o s θ . d α d t = 10 - 25 c o s 2 θ 2 - 5 c o s θ . d θ d t

d α d t = 10 - 25 c o s 2 θ 25 c o s 2 θ - 10 c o s θ - 6 . d θ d t

Resposta

Portanto, temos duas respostas:

- Se 1 5 < c o s θ < 2 5 , temos d α d t = 10 c o s θ - 25 29 - 20 c o s θ . d θ d t

- Se c o s θ > 2 5 , temos

d α d t = 10 - 25 c o s 2 θ 25 c o s 2 θ - 10 c o s θ - 6 . d θ d t

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