Enunciado

Represente graficamente y = cos ⁡ x para - π ≤ x ≤ 2 π . Na mesma tela, esboce o gráfico

y = s e n x + h - s e n ( x ) h

Para h = 1 ; 0.5 ; 0.3 ; 0.1 . Então, em uma nova janela, tente h = - 1 ; - 0.5 e - 0.3 . O que acontece quando h → 0 + ? E quando h → 0 - ? Que fenômeno está sendo ilustrado aqui?

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos. Precisamos obter os gráficos de múltiplas funções para entender o que acontece a medida em que diminuímos o valor de h . Esta intepretação vai surgir naturalmente a partir do momento em que observarmos as curvas. Entretanto, para poder explicar melhor o fenômeno por trás, vamos relembrar como obtemos a derivada de uma função f ( x ) pela definição. Para isto, calculamos o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!

Passo 2

O nosso ponto de partida é obter o gráfico das funções y = cos ⁡ x e o gráfico da função

y = f ( x ) = s e n x + h - s e n ( x ) h

Quando h = 1 ; 0.5 ; 0.3 ; 0.1 . Sendo assim, temos:

Passo 3

A medida em que diminuímos o valor de h , podemos ver que as curvas cos ⁡ x da função f ( x ) tendem a se sobrepor. Logo, quando h → 0 +

f x → cos ⁡ x

Este resultado era esperado, pois a nossa função f ( x ) nada mais é que a definição de derivada. Portanto, quando h → 0 , temos a derivada da função s e n   ( x ) , que é a função cosseno.

Passo 4

Vamos agora esboçar os gráficos quando os valores de h são negativos. Isto é, h = - 1 ; - 0.5 e - 0.3 . Sendo assim, temos:

Passo 5

Ao diminuirmos o valor de h , fazendo h → 0 - , acontece o mesmo fenômeno que quando h → 0 + . As funções tendem a se sobrepor e no final estamos calculando a derivada da função.

Resposta

Em ambos os casos, a medida em que fazemos h → 0 , pelo caminho que for, o gráfico da função dada tende a ser o mesmo da função cos ⁡ x . O fenômeno observado é a derivada da função s e n   x , o qual é igual a cos ⁡ x

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Encontre f ' ( x ) : f x = sec ⁡ x - 2 t a n ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = cos sec ⁡ x c o t g ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = sec ⁡ x t a n ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = cos ⁡ x - x c o s s e c ⁡ ( x )
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O Método de Newton é um procedimento para encontrar soluções exatas de f ( x ) .