Enunciado

Seja P ( t ) a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos no instante t . A tabela fornece projeções dos valores desta função de 1995 a 2020.

  1. Qual o significado de P ' ( t ) ? Quais são as suas unidades?
  2. Construa uma tabela de valores para P ' ( t )
  3. Faça os gráficos de P   e P '

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a tabela

Onde P t é função porcentagem da população das Filipinas que tem idade maior que 60 anos e t é o ano.

A partir dessa tabela, queremos saber qual o significado de P ' t e suas unidades, constuir uma tabela de P ' t e esboçar os gráficos de P e P ' .

Tem ideia de como fazemos isso?

Primeiramente temos que lembrar de algumas propriedades de definição de derivadas... em um ponto, a derivada de uma função é igual a inclinação da reta tangente a essa função naquele ponto.

Para obter a tabela de P ' t temos que aplicar a formilinha

P ' t = lim h → 0 ⁡ P t + h - P t h

E para esboçar os gráficos, plotamos os pontos da tabela no plano cartesiano e ligamos eles imaginando o comportamento da função.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar definido o que é P ' t ...

Extendendo o que foi dito no passo 1, P   ' ( t ) é a taxa na qual a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos está mudando em relação ao tempo. Isso porque se a derivada de uma função é a inclinação da função em um determinado ponto, podemos interpretar a derivada nesse caso como uma variação instantânea de P t ...

Como P ' t é o quando a porcentagem muda em relação ao tempo, suas unidades são porcentagem por ano

P ' t = % a n o

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos construir a tabela de P ' t …

Podemos encontrar o valor da derivada fazendo

P ' t = lim h → 0 ⁡ P t + h - P t h

Como estamos lidando com uma tabela e não com uma função em tempo contínuo, podemos dizer que

P ' t ≈ P t + h - P t h = P t + ∆ t - P t ∆ t

Dessa forma, para 1995

P ' 1995 = P 2000 - P 1995 2000 - 1995 = 5,5 - 5,2 5

P ' 1995 = 0,06

A partir desse ponto, vamos calcular a derivada a partir das medias das derivadas laterais...

Para 2000, primeiro calculamos de 1995 para 2000

P 1 ' 2000 = P 1995 - P 2000 1995 - 2000

P 1 ' 2000 = 0,06

Agora de 2000 para 2005

P 2 ' 2000 = P 2005 - P 2000 2005 - 2000 = 6,1 - 5,5 5

P 2 ' 2000 = 0,12

Calculando a media entre esses dois valores...

P ' 2000 = 0,06 + 0,12 2

P ' 2000 = 0,09

Vamos fazer a mesma coisa para 2005...

Enter 2000 e 2005

P 1 ' 2005 = P 2000 - P 2005 2000 - 2005

P 1 ' 2005 = 0,12

Entre 2005 e 2010

P 2 ' 2005 = P 2010 - P 2005 2010 - 2005 = 6,7 - 6,1 5

P 2 ' 2005 = 0,12

Calculando a média...

P ' 2005 = 0,12 + 0,12 2

P ' 2005 = 0,12

Repetindo o processo para todos os anos, podemos montar a tabela

Show?

Passo 4

Por fim, plotando os pontos de P t e P ' t no plano cartesiano e ligando-os, podemos esboçar seus gráficos como

Onde a linha em azul representa P ( t ) e a linha vermelha P ' ( t )

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. P   ' ( t ) é a taxa na qual a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos está mudando em relação ao tempo. Suas unidades são porcentagem por ano
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