Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

x 2 1 - x 3

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

- x 2 1 - - x 3 = x 2 1 + x 2

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = x 2 1 - x 3 → 0 = x 2 1 - x 3 → 0 = x 2 → x = 0

y = 0 2 1 - 0 3 = 0

Pronto, sabemos onde a função corta o eixo x e o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

1 - x 3 = 0 → x 3 = 1 → x = 1

Temos então que possui assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é positiva no intervalo - ∞ , 1 e negativa no intervalo 1 , + ∞ .

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 - x 3 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 3 1 x 3 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 x 3 - 1 = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 - x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 3 1 x 3 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 1 x 3 - 1 = 0

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 6

Vamos encontrar f ' x :

f ' x = 2 x 1 - x 3 - x 2 0 - 3 x 2 1 - x 3 2 = 2 x - 2 x 4 + 3 x 4 1 - x 3 2 = 2 x + x 4 1 - x 3 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

2 x + x 4 1 - x 3 2 = 0 → 2 x + x 4 = 0 → x 2 + x 3 = 0 →

x = 0

x 3 = - 2 → x = - 2 3 = - 1 , 26

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 0,1 ; 0,1 que contém 0 e no intervalo - 1,4 ; 1,2 que contém - 1 , 26 :

f ' - 0,1 = 2 - 0,1 + - 0,1 4 1 - - 0,1 3 2 = - 0,199

f ' 0,1 = 2 0,1 + 0,1 4 1 - 0,1 3 2 = 0,20

f ' - 1,4 = 2 - 1,4 + - 1,4 4 1 - - 1,4 3 2 = 0,074

f ' - 1,2 = 2 - 1,2 + - 1,2 4 1 - - 1,2 3 2 = - 0,043

Pronto, temos então que x = 0 é um mínimo relativo e x = - 1 , 26 é um máximo relativo.

Passo 7

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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