Enunciado

Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = 2 x y / ( x 2 + 1 ) e o plano z = x + 2 y e é limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 e y = 4 . Então encontre o volume.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para plotar o sólido podemos usar o Maple e inserir os parâmetros que estão no enunciado. Geramos isso:

Podemos notar que a função z = x + 2 y é o limite superior da região e z = 2 x y / ( x 2 + 1 ) é o limite inferior. Portanto:

f x , y = x + 2 y - 2 x y x 2 + 1

Limitado pelo retângulo:

R = 0,2 × 0,4

Passo 2

O volume encontramos a partir de:

V = ∬ R f x , y d A

V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 x + 2 y - 2 x y x 2 + 1 d y d x

Resolvendo de dentro para fora, temos:

∫ 0 4 x + 2 y - 2 x y x 2 + 1 = x y + y 2 - x y 2 x 2 + 1   0 4

∫ 0 4 x + 2 y - 2 x y x 2 + 1 = 4 x + 16 - 16 x x 2 + 1  

Portanto:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 x + 2 y - 2 x y x 2 + 1 d y d x = ∫ 0 2 4 x + 16 - 16 x x 2 + 1   d x

Agora é só resolver:

∫ 0 2 4 x + 16 - 16 x x 2 + 1   d x = 2 x 2 + 16 x - 8 ln ⁡ x 2 + 1 0 2

∫ 0 2 4 x + 16 - 16 x x 2 + 1   d x = 2 2 2 + 16 2 - 8 ln ⁡ 2 2 + 1 - 0 - 0 + 0

∫ 0 2 4 x + 16 - 16 x x 2 + 1   d x = 8 5 - ln ⁡ 5

V = 27,12449  

Resposta

V = 27,12449  

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Determine a área da região limitada pelas curvas: ax = y 3 , x + y = 2 e y = 0 .
Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies y = 4 - x 2 , y = 3 x , z = x + 4 e z = 0 .
Determine a área da região limitada pelas curvas: a2 y = 16 - x 2 e x + 2 y + 4 = 0 .
Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = y , z = 4 - x 2 , z = 0 e y = - 4 com z ≥ 0 .
Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 - y 2 , x + z = 2 e x = 2 para z ≥ 0 .