Enunciado

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Resolva a equação diferencial.

x y ' + y = x

Passo 1

Hey, pessoal! Vamos ter que resolver essa equação diferencial. A gente poderia colocá-la na forma linear padrão:

d y d x + P x   y = Q x

Depois, poderíamos calcular quem é o fator integrante:

I x = e ∫ P x   d x

pra multiplicar os dois lados da nossa equação. Mas, se você fizer isso, vai ver que vai chegar exatamente em:

x y ' + y = x

E por que isso acontece? Bom, quando a gente faz esse processo de procurar o fator integrante, nosso maior anseio é deixar o lado esquerdo da equação na seguinte forma:

y ' . a + y . a ' = y a '

Mas, se você olhar bem pra equação do enunciado, ela já tá assim! Só que no caso, a = x , olha só:

x y ' + 1 . y = ( y x ) '

Então, reescrevendo a equação com essa nova informação, fica assim:

y x ' = x

Passo 2

Show! Agora é a hora que a gente integra!

y x = ∫ x   d x + C

y x = 2 3 x 3 + C

y = 2 3 x + C x

Resposta

y = 2 3 x + C x

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