Enunciado

Resolva a equação diferencial.

(d y)/(d x) = (y)/(x)

Passo 1

A questão pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

(d y)/(d x) = (y)/(x)

Note que essa equação é separável e pode ser reescrita como

(d y)/(y) = (d x)/(x)

Passo 2

Integrando de ambos os lados:

int (d y)/(y) = int (d x)/(x) => ln |y| = ln |x| + C

É muito importante não esquecer de adicionar a constante C na integração e também não esquecer dos módulos quando integramos o log!

Tomando a exponencial dos dois lados:

|y| = e^(ln |x| + C) = e^C * e^(ln |x|) = e^C |x|

Note que e^C > 0 . Tirando o módulo de y :

y = +- e^C |x|

Assim, vamos definir uma constante A = +- e^C que pode ser tanto positiva como negativa. Além disso, note que y = 0 é solução da equação diferencial, que pode ser incorporada se deixarmos A ser zero. Desta forma, A pode ser qualquer número real!

A solução será então

y = A |x| , A in R

Por outro lado, como A pode ser tanto positivo como negativo, podemos incorporar o módulo de x no seu sinal, obtendo uma nova constante:

y = K x , K in R

Resposta

y = K x , K in R

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere uma população P = P ( t ) com taxas de natalidade e mortalidade relativas constantes α e β , respectivamente, e uma taxa de emigração constante m , onde α , β e m são constantes positivas. A
Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante. A contagem era 600 depois de duas horas e 75000 depois de oito horas.a) Qual a população inicial da cultura?b) Encontre
a) Se $500 são emprestados a 14 % de juros, calcule as quantidades devidas no final de dois anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) trimestralmente, (iii) mensalmente, (iv) diariamente,
Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de três horaz existem 8000 bactérias.a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depoi
a) Se $3000 são investidos a uma taxa de juros de 5 % , calcule o valor do investimento no final de cinco anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) semestralmente, (iii) mensalmente, (iv)