Resolva a equação diferencial:

((t - 1)^3) \* (ds/dt) + 4 \* ((t - 1)^2) \* s = t + 1; t > 1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por t - 1 3 , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

d s d t + 4 t - 1 s = t + 1 t - 1 3

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

s ' t + p t s = f ( t )

Comparando, percebemos que p t =   4 t - 1 ;   f t = t + 1 t - 1 3

Passo 2

Agora, que identificamos p ( t ) e f ( t ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u t =   e ∫ p x d x = e ∫ 4 t - 1 d t =   e 4 ln ⁡ ( t - 1 ) = e ln ⁡ ( t - 1 ) 4 = t - 1 4

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

t - 1 4 s ' + 4 t - 1 3 s = ( t - 1 ) ( t + 1 )

t - 1 4 s ' + 4 t - 1 3 s = t 2 - 1

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d s d t t - 1 4 . y = t 2 - 1

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

t - 1 4 . y = ∫ t 2 - 1   d t

t - 1 4 . y = t 3 3 - t + C

y = t 3 3   t - 1 4 -   t t - 1 4 +   C t - 1 4

Resposta

y = t 3 3   t - 1 4 -   t t - 1 4 +   C t - 1 4

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