Resolva a equação diferencial:

2y' = e^(x/2) + y

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

2 y ' - y = e x / 2

Dividimos por dois, pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

y ' -   1 2 y =   e x / 2 2

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x =   -   1 2 ;   f x = e x / 2 2

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ -   1 2 d x =   e - x / 2

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

e - x / 2 . y ' -   1 2 . e - x / 2 . y =   e x / 2 2 .   e - x / 2

e - x / 2 . y ' -   1 2 . e - x / 2 . y =   1 2

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x e - x / 2 . y = 1 2

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e - x / 2 . y = ∫ 1 2 d x

e - x / 2 . y = 1 2 x + C

y = x e x / 2 2 + C . e x / 2

Resposta

y = x e x / 2 2 + C . e x / 2

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