Resolva a equação diferencial:

x(x - 1)dy - ydx = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar o que tem y pra um lado e o que tem x para o outro:

x x - 1 d y - y d x = 0 → x x - 1 d y = y d x → d y y = d x x ( x - 1 )

Agora nós integramos os dois lados...

Passo 2

∫ d y y = ln ⁡ y

∫ d x x ( x - 1 ) = ∫ - 1 x + 1 x - 1 d x =   - ln ⁡ x + ln ⁡ ( x - 1 )

E acrescentamos a constante C...

d y y = d x x ( x - 1 ) → ln ⁡ y =   - ln ⁡ x + ln ⁡ ( x - 1 ) + C

Vamos colocar a constante em logaritmo também: C = ln ⁡ C 1 ...

ln ⁡ y =   - ln ⁡ x + ln ⁡ ( x - 1 ) + ln ⁡ C 1

Passo 3

Agora a gente usa as propriedades do logaritmo pra “juntar” tudo:

ln ⁡ y = ln ⁡ C 1 x - 1 x

E agora a gente pode “cortar” o logaritmo dos dois lados e...

y =   C 1 ( x - 1 ) x

Essa é a solução da equação diferencial.

Resposta

y =   C 1 ( x - 1 ) x

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