Resolva a equação diferencial

x \* y' - y = 2 \* x \* ln(x)

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e ∫ p x d x

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

d d x v y = v ⋅ q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y ' + p x y = q x . Portanto, temos:

x y ' - y = 2 x ln ⁡ x

y ' - 1 x ⋅ y = 2 ln ⁡ x

Portanto a função p x = - 1 / x . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e ∫ p x d x

v = e e ∫ - 1 x d x = e - 1 ln ⁡ x

v = e ln ⁡ x - 1   = x - 1

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v ⋅ y ' - 1 x ⋅ y = v ⋅ 2 ln ⁡ x

x - 1 ⋅ d y d x - 1 x ⋅ y = x - 1 ⋅ 2 ln ⁡ x

d d x x - 1 ⋅ y = 2 ln ⁡ x x

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

x - 1 ⋅ y = 2 ∫ ln ⁡ x x d x

y = 2 x ⋅ ∫ ln ⁡ x x d x

Passo 5

Para resolvermos a integral acima, vamos fazer uma substituição. Se u = ln ⁡ x , d u = d x / x . Desta forma,

∫ ln ⁡ x x d x = ∫ u   d u = u 2 2 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

u 2 2 + k = ln ⁡ x 2 2 + k

Sendo assim, a solução da EDO é dada por:

y = 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 2 + k

y = x ln ⁡ x 2 + k x

Resposta

y = x ln ⁡ x 2 + k x

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