Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

y   d x + x y + 2 x - y . e y d y = 0

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear em x , porque ela pode ser escrita no formato d x d y + A y . x = B ( y ) , olha, vamos dividir tudo por d y

y d x d y + x y + 2 x - y . e y = 0

Agora vamos dividir tudo por y

d x d y + x y + 2 x - y . e y y = 0

d x d y = 1 + 2 y . x = e y

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

x ( y ) = 1 I y ∫ I y . B y   d y + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = 1 + 2 y e B y = e y então:

I x = e ∫ 1 + 2 y   d y

I x = y 2 . e y

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

x y = 1 y 2 . e y ∫ y 2 . e y . e y   d y + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ y 2 . e y . e y   d y = ∫ y 2 . e 2 y   d y

∫ y 2 . e y . e y   d y = e 2 y . y 2 2 - ( e 2 y . 2 y - e 2 y ) 4

Substituindo em ( I I I ) :

x y = 1 y 2 . e y e 2 y . y 2 2 - ( e 2 y . 2 y - e 2 y ) 4 + c

Então:

x y = e y 2 - e y 2 y + e y 4 y 2 + c . e - y y 2

Com:

0 < y < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

x y = e y 2 - e y 2 y + e y 4 y 2 + c . e - y y 2

0 < y < ∞

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