Enunciado

Resolva a equação diferencial.

(d^2 y)/(d t^2) - 6 (d y)/(d t) + 4 y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (t) = A k e^(k t)

y^(' ') (t) = A k^2 e^(k t)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k t) - 6 k A e^(k t) + 4 A e^(k t) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

k^2 - 6 k + 4 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- ( - 6 ) +- sqrt(( - 6 )^2 - 4.1 . 4))/(2.1) = (6 +- sqrt(20))/(2)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (6 +- 2 sqrt(5))/(2) = 3 +- sqrt(5)

Aqui encontramos duas raízes reais e distintas (embora feias). Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 . Mas e o A ? Bom, como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

y (t) = A e^((3 + sqrt(5)) t) + B e^((3 - sqrt(5)) t )

Em um problema de valor inicial (PVI) são dadas condições iniciais (olha que nome original kkk) e daí esses coeficientes A e B podem ser determinados.

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (t) = A e^((3 + sqrt(5)) t) + B e^((3 - sqrt(5)) t )

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