Enunciado

Se R = - 1 ,   3 × 0 ,   2 , use a soma de Riemann com m = 4 , n = 2 para estimar o valor de ∫ ∫ R y 2 - 2 x 2   d A . Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.

Passo 1

O exercício quer que estimemos o valor da integral sobre um retângulo usando uma soma de Riemman. Com isso, escrevemos

∫ ∫ R f x ,   y   d A   ≈ ∑ r e t â n g u l o s f x i ,   y i   Δ A = S

Com isso, nós substituímos a integral por uma soma. O enunciado pediu para dividirmos o intervalo - 1 ,   3 no eixo x em m = 4 partes e o intervalo 0 ,   2 no eixo y em n = 2 partes. Com isso, obtemos

Também foi pedido para considerar como pontos amostrais x i ,   y i os cantos inferiores esquerdos dos retângulos, como indicado pelos pontos verdes na figura. Esses pontos são

- 1 ,   0 ,             - 1 ,   1 ,             0 ,   0 ,           0 ,   1 ,             1 ,   0 ,           1 ,   1 ,               2 ,   0 ,               2 ,   1

Passo 2

Devemos calcular o valor da função em cada um desses pontos usando que f x ,   y = y 2 - 2 x 2 :

f - 1 ,   0 = - 2

f - 1 ,   1 = 1 - 2 = - 1

f 0 ,   0 = 0

f 0 ,   1 = 1 - 0 = 1

f 1 ,   0 = 0 - 2 = - 2

f 1 ,   1 = 1 - 2 = - 1

f 2 ,   0 = 0 - 8 = - 8

f 2 ,   1 = 1 - 8 = - 7

Como todos os Δ A são iguais, podemos escrever a soma como

S = f - 1 ,   0 + f - 1 ,   1 + f 0 ,   0 + f 0 ,   1 + f 1 ,   0 + f 1 ,   1 + f 2 ,   0 + f 2 ,   1 Δ A

Como Δ A = 1 ⋅ 1 = 1 , substituindo os valores das funções:

S = - 2 - 1 + 0 + 1 - 2 - 1 - 8 - 7 = - 20

Com isso, a estimativa da integral é

∫ ∫ R f x ,   y   d A   ≈ - 20

Resposta

∫ ∫ R f x ,   y   d A   ≈ - 20

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Utilize a simetria para calcular a integral dupla. ∬ R x y 1 + x 4 d A R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 }