Enunciado

Resolva a equação diferencial.

y^(' ') + 3 y^' = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (t) = A k e^(k t)

y^(' ') (t) = A k^2 e^(k t)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k t) + 3 k A e^(k t) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

k^2 + 3 k = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou colocar k em evidência:

k (k + 3) = 0

Bom, aqui temos um produto e ele tem que ser igual à zero. Sendo assim, temos duas soluções, onde cada termo desse produto é zero. Daqui saem duas raízes:

k = 0 , k = - 3

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 .

Mas e o A ? Bom, como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

y (t) = A e^(0 t) + B e^(- 3 t)

y (t) = A + B e^(- 3 t)

Em um problema de valor inicial (PVI) são dadas condições iniciais (olha que nome original kkk) e daí esses coeficientes A e B podem ser determinados.

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (t) = A + B e^(- 3 t)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva os problemas de valor inicial. 3 y ' ' - 2 y ' - y = 0 ,y 0 = 0 , y ' 0 = - 4
Resolva os problemas de valor de contorno: y ' ' + 6 y ' = 0 ,y 0 = 1 , y 1 = 0
Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum? d 2 y d x 2 + 2 d y d x + 2 y = 0
Resolva os problemas de valor de contorno: y ' ' - 8 y ' + 17 y = 0 ,y 0 = 3 , y π = 2
Resolva os problemas de valor inicial. 4 y ' ' - 20 y ' + 25 y = 0 ,y 0 = 2 , y ' 0 = - 3