Enunciado

Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.

x 2 + y 2 = 9

Passo 1

Primeiramente, o que é uma equação polar?

É uma substituição feita na equação cartesiana da seguinte forma:

x = r ⋅ c o s   θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Passo 2

Fazendo a substituição de x e   y na equação dada:

x 2 + y 2 = 9

r ⋅ cos ⁡ θ 2 + r ⋅ sen ⁡ θ 2 = 9

Para manipularmos essa equação a gente precisa mandar esse quadrado pra dentro dos parênteses. Como se trata de uma multiplicação em ambos, basta colocar cada termo dentro do parênteses ao quadrado:

r 2 ⋅ cos ² ⁡ θ + r 2 ⋅ sen ² ⁡ θ = 9

Passo 3

Agora colocando r ² em evidência do lado direito

r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 9

Dentro do parênteses temos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Deste modo

r 2 = 9

Finalmente, aplicando a raiz dos dois lados temos:

r = ± 3

Mas por definição, r denomina uma distancia e como não existe distancia real negativa, podemos concluir que

r = 3

Resposta

r = 3

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