Enunciado

Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir use uma calculadora pra encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t + cos ⁡ t ,     y = t - s e n   t   ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2   d x  

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = ∫ a b 1 + d y d t d x d t 2 d x d t d t  

Passando d x d t   ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t  

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x   e   y ,   certo?

x = t + cos ⁡ t ,     ,    

d x = 1 - s e n   t   d t

d x d t 2 = 1 - 2 s e n   t + s e n 2 t

y = t - s e n   t

d y = 1 - cos ⁡ t   d t

d y d t 2 = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = ∫ 0 2 π 1 - 2 s e n   t + s e n 2 t + 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t   d t  

Como s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 :

L = ∫ 0 2 π 3 - 2 s e n   t - 2 cos ⁡ t   d t  

Aproximando o comprimento temos que:

L = ∫ 0 2 π 3 - 2 s e n   t - 2 cos ⁡ t   d t   ≈ 10,0367

Resposta

L = ∫ 0 2 π 3 - 2 s e n   t - 2 cos ⁡ t   d t   ≈ 10,0367

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