Enunciado

Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.

y ' ' + y = sec 2 ⁡ x ,   0 < x < π / 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Vamos determinar primeiro a solução da parte homogênea.

Passo 2

A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + y = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 1 = 0

Isolando k temos:

k = ± i

E a solução vai ser uma combinação de seno e cosseno:

y h x = c 1 s e n x + c 2 c o s ⁡ ( x )

Beleza! Agora vamos aplicar o método da variação de parâmetros para determinar a solução particular.

Passo 3

Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada y 1 e y 2 , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

No texto do livro é deduzido o sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, são as equações 7 e 9 e formam o seguinte sistema:

a u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = G u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

Onde a é o coeficiente de y ' ' e G é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para u 1 ' e u 2 ' :

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) ,     u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' )  

E depois é só fazer a integração.

No nosso caso y 1 = s e n ( x ) e y 2 = c o s ⁡ ( x ) . E as derivadas são y 1 ' = c o s ⁡ ( x ) e y 2 ' = - s e n ( x ) . E G = s e c 2 ( x ) e também a = 1 .

Então podemos calcular o denominador:

y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' = - cos ⁡ x . cos ⁡ x - s e n x . s e n x = - 1

Assim u 1 ' fica:

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = - sec 2 ⁡ x . c o s ⁡ ( x ) - 1 = s e c ⁡ ( x )

E integrando em relação a x temos:

u 1 = ∫ s e c ⁡ ( x ) d x

A integral será resolvida por integração direta:

u 1 = l n ⁡ [ sec ⁡ x + t g ( x ) ]

E já vou calcular aqui u 1 y 1 pois vai ser útil depois!

u 1 y 1 = s e n ( x ) l n ⁡ [ sec ⁡ x + t g ( x ) ]

Passo 4

Pronto, agora vamos calcular u 2 e posteriormente u 2 y 2 .

Da fórmula para u 2 ' do passo anterior temos:

u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = sec 2 ⁡ x . s e n ( x ) - 1 = - sec ⁡ x . t g ( x )

E integrando em relação a x temos:

u 2 = ∫ - sec ⁡ x . t g ( x ) d x = - s e c ⁡ ( x )

E o valor de u 2 y 2 pois vai ser:

u 2 y 2 = cos ⁡ x . - sec ⁡ x = - 1

Pronto! Agora vamos juntar os resultados dos passos 3 e 4 e determinar a solução particular.

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 = s e n x ln ⁡ sec ⁡ x + t g x - 1

E a solução completa vai ser:

y = y h + y p = c 1 s e n x + c 2 cos ⁡ x + s e n x ln ⁡ sec ⁡ x + t g x - 1

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y = c 1 s e n x + c 2 cos ⁡ x + s e n x ln ⁡ sec ⁡ x + t g x - 1

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Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada. 1 - t y ' ' + t y ' - y = 2 t - 1 2 e - t , 0t1 ;y 1 t = e t (veja o Problema