Enunciado

Seja g x = 1 - x 3 3 .

  1. Encontre g - 1 . Como está relacionada a g ?
  2. Faça um gráfico de g .Como você explica a sua resposta para a parte (a)?

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

g x = 1 - x 3 3

E nosso objetivo encontrar g - 1 , relacionar com g e esboçar os gráficos de g e g - 1 .

Tem ideia de como fazemos isso?

g - 1 é a função inversa de g ... para obter essa função inversa, igualamos g = y e manipulamos a equação de modo que x fique isolado em um lado da igualdade. Assim do outro lado da igualdade, vamos ter g - 1 .

Com g e g - 1 em mãos, vamos analisar algumas características dessas função para esboçar seus gráficos.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando g - 1 ...

Igualando g x = y , temos

g x = y = 1 - x 3 3

Agora isolamos x em função de y :

y = 1 - x 3 3

y 3 = 1 - x 3

x 3 = 1 - y 3

x = 1 - y 3 3

Por fim, para expressarmos g - 1   como uma função de x , trocamos x por y   :

x = 1 - y 3 3

g - 1 x = 1 - x 3 3

Concluímos que a função inversa de g , g - 1 , é igual a função g , ou seja, g = g - 1 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora queremos esboçar os gráficos, mas como g = g - 1 , podemos esboçar apenas um deles.

g x = 1 - x 3 3

Perceba que nossa função é uma raiz... portanto, quando x = 1 , g x = 0 já que o conteúdo da raiz vai zerar e tambem quando x = 0 , g x = 1 .

Perceba tambem que o grau de x é o mesmo que o grau da raiz... portanto, para x ≫ 1 a função vai se comportar como uma reta com inclinação negativa y = - x , já que x é negativo...

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico como...

Observe que o gráfico de g é simétrico em relação a uma linha imaginária y = x , então sua reflexão sobre y = x é ele mesmo, por isso g - 1 = g .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

g x = g - 1 x = 1 - x 3 3

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Ache o domínio e esboce o gráfico.f (x) = |ln x|
Ache o domínio e esboce o gráfico.g (x) = |ln |x||
Prove a propriedade dada, sendo a e b números positivos quaisquer e x e y , números reais quaisquer. a 0 = 1
Calcule o vaor do logaritmo dado:log_5 e
Prove a propriedade dada, sendo a e b números positivos quaisquer e x e y , números reais quaisquer. a x y = a x y