Enunciado

Resolva as equações diferenciais

x y y^' = x^2 + 1

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo -a – passo para você ver. Temos então:

x y y^' = x^2 + 1

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for x vai para um lado, tudo que for y vai para o outro.

x y y^' = x^2 + 1

x y (d y)/(d x) = x^2 + 1

y d y = (x^2 + 1)/(x) d x

y d y = (x + (1)/(x)) d x

Sempre que puder separe as frações em termos independentes. Sabemos com mais facilidade integrar cada termo pequeno, mas fica muito mais complicado integrar uma fração grande. Não fica tão claro qual seria a primitiva dela.

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

int y d y = int (x + (1)/(x)) d x

(y^2)/(2) = (x^2)/(2) + ln x + C

y^2 = x^2 + 2 l n x + C #

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por 2 , não fará a menor diferença. Então não é costume alterar Essas constantes. Eu botei como C#, mas podemos continuar a tratar como apenas C. Beleza!

y^2 = x^2 + 2 l n x + C

y^2 = x^2 + l n x^2 + C

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y^2 = x^2 + l n x^2 + C

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