Enunciado

Para quais valores de p a serie e convergente? sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^(n - 1))/(n^p)

Passo 1

A ideia sera usar o teorema da convergência de series alternadas e mostrar em quais p as hiposteses deles serão satisfeitas. Queremos então que o termo geral b_n , ignorando a troca de sinal, seja decrescente e b_n -> 0 quando n -> oo .

Passo 2

Considerando a sequencia b_n = (1)/(n^p) , temos que se p > 0 temos ainda a “divisão” na fracao, de modo que a sequencia sera descrescente e lim b_n = 0 . Se p >= 0 , não teremos nenhuma das propriedades desejadas.

Resposta

Portanto, pelo teste, a serie converge sempre que p > 0 .

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