Enunciado

1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.

Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada. Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

5. OBC em torno do eixo y.

Passo 1

Como essa figura está girando em torno do eixo y, nossa casca cilíndrica imaginária estaria na vertical e a espessura da casca cilíndrica é dx, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d x

Então como o d V depende de d x precisamos achar r e h em termos de x.

Assim:

r = x           h = 8 - x 3

Logo:

V = 2 π ∫ 0 4 x ⋅ ( 8 - x 3 ) d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 4 na região limitada.

Passo 2

Agora basta resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 4 x ⋅ ( 8 - x 3 ) d x

= 2 π ∫ 0 4 8 x d x - ∫ 0 4 x 5 2 d x

= 2 π 8 x 2 2 0 4 - 2 7 x 7 2 0 4

= 2 π 4 4 2 - 0 - 2 7 4 7 2 - 0

= 2 π 64 - 2 7 128

= 2 π 64 - 36,6

= 54,8 π

Resposta

V = 54,8 π

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = 2 , da região limitada pelo gráfico de y = 2 x - 1 6 x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .
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