Enunciado

1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.

Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada. Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

7.OBC em torno da reta AC.

Passo 1

Como essa figura está girando em torno do eixo AC, nossa casca cilíndrica imaginária estaria na vertical e a espessura da casca cilíndrica é dx, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d x

Então como o d V depende de d x precisamos achar r e h em termos de x.

Assim:

r = 4 - x           h = 8 - x 3

Logo:

V = 2 π ∫ 0 4 ( 4 - x ) ⋅ ( 8 - x 3 ) d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 4 na região limitada.

Passo 2

Agora basta resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 4 ( 4 - x ) ⋅ ( 8 - x 3 ) d x

= 2 π ∫ 0 4 32 - 4 x 3 2 - 8 x + x 5 2 d x

= 2 π 32 ∫ 0 4 d x - 4 ∫ 0 4 x 3 2   d x - 8 ∫ 0 4 x   d x + ∫ 0 4 x 5 2 d x

= 2 π 32 x 0 4 - 4 2 5 x 5 2 0 4 - 8 x 2 2 0 4 + 2 7 x 7 2 0 4

= 2 π 32 4 - 0 - 4 2 5 4 5 2 - 0 - 8 1 2 4 2 - 0 + 2 7 4 7 2 - 0

= 2 π 128 - 4 2 5 32 - 8 1 2 16 + 2 7 128

= 2 π 128 - 51,2 - 64 + 36,6

= 2 π 49,4 = 98,8 π

Resposta

V = 98,8 π

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