Enunciado

Resolva a inequação.

(2 x - 1) (x^2 - 4) <= 0

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos tentar manipular um pouco a expressão, vemos que dá pra usar produtos notáveis para destrinchar um pouco, vamo fazer isso então:

Vamos lembrar desse produto notável:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

Pronto, se encaixa direitinho na expressão, vamos aplicar então:

x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2) (x - 2)

Pronto, substituindo temos:

(2 x - 1) (x^2 - 4) <= 0 harr (2 x - 1) (x + 2) (x - 2) <= 0

Passo 2

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar as três expressões separadamente:

Para 2 x - 1 temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < (1)/(2) e assume valores positivos quando x > (1)/(2) .

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Passo 3

Vamos analisar agora a situação pedida através das três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que (2 x - 1) (x + 2) (x - 2) <= 0 quando as duas expressões forem positivas e a outra negativa ou quando todas forem negativas, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

x <= - 2 ou (1)/(2) <= x <= 2

Resposta

(2 x - 1) (x^2 - 4) <= 0 para x <= - 2 ou (1)/(2) <= x <= 2

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