Enunciado

Resolva a inequação

h ) 3 x^2 - x <= 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x_1 e x_2 são:

x_1 = (- b + sqrt(Delta))/(2 a) ; e x_2 = (- b - sqrt(Delta))/(2 a) .

Como para esse polinômio a = 3 , b = - 1 e c = 0 o valor de Delta é:

Delta = b^2 - 4 a c = (- 1)^2 - 4.3 . 0 = 1

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x_1 = (- (- 1) + sqrt(1))/(2.3) = (1 + 1)/(6) = (1)/(3)

x_2 = (- (- 1) - sqrt(1))/(2.3) = (1 - 1)/(6) = 0

Então a função troca de sinal nos pontos onde x = 0 e x = 1 // 3 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio 3 x^2 - x troca de sinal em x = 0 e em x = 1 // 3 , então devemos ver os sinais antes e depois desses dois valores.

  • Para x = 0 :
  • Testando para valores menores, por exemplo x = - 1 temos: 3 ( - 1 )^2 - 1 . ( - 1 ) > 0

    Testando para valores maiores (mas menores do que 1 // 3 ), por exemplo x = 1 // 6 temos: 3 . ( 1 // 6 )^2 - 1 . ((1)/(6)) = (3)/(36) - (1)/(6) = (1)/(12) - (1)/(6) < 0

  • Para x = 1 // 3 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 1 // 6 , já vimos que a função assume valores negativos

Testando para valores maiores, por exemplo x = 1 temos: 3.1^2 - 1.1 > 0

Resumindo temos: antes de x = 0 positivo, entre 0 e 1 // 3 negativo e depois de 1 // 3 positivo novamente:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores negativos (incluindo o zero!!) então o intervalo de interesse é entre x = 0 e x = 1 // 3 e em ambos lados abertos:

0 <= x <= 1 // 3

Beleza?

Resposta

0 <= x <= 1 // 3

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