Enunciado

Resolva a inequação

f ) 3 x^2 + x - 2 > 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x_1 e x_2 são:

x_1 = (- b + sqrt(Delta))/(2 a) ; e x_2 = (- b - sqrt(Delta))/(2 a) .

Como para esse polinômio a = 3 , b = 1 e c = - 2 o valor de Delta é:

Delta = b^2 - 4 a c = (1)^2 - 4.3 . - 2 = 25

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x_1 = (- (1) + sqrt(25))/(2.3) = (- 1 + 5)/(6) = (2)/(3)

x_2 = (- (1) - sqrt(25))/(2.3) = (- 1 - 5)/(6) = - 1

Então a função troca de sinal nos pontos onde x = - 1 e x = 2 // 3 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio 3 x^2 + x - 2 troca de sinal em x = - 3 e em x = 2 , então devemos ver os sinais antes e depois desses dois valores.

  • Para x = - 1 :
  • Testando para valores menores, por exemplo x = - 4 temos: 3 . ( - 4 )^2 + 1 . (- 4) - 2 > 0

    Testando para valores maiores, por exemplo x = 0 temos: 3.0^2 + 0 - 2 < 0

  • Para x = 2 // 3 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 0 , já vimos que a função assume valores negativos

Testando para valores maiores, por exemplo x = 3 temos: 3.3^2 + 3 - 2 > 0

Resumindo temos: antes de x = - 1 positivo, entre - 1 e 2 // 3 negativo e depois de 2 // 3 positivo novamente:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores positivos (sem incluir o zero!!) então o intervalo de interesse é antes de x = - 1 e depois de x = 2 // 3 e em ambos lados fechados:

x < - 1 o u x > 2 // 3

Beleza?

Resposta

x < - 1 o u x > 2 // 3

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