Enunciado

Resolva a inequação

d ) x^2 - 9 < 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x_1 e x_2 são:

x_1 = (- b + sqrt(Delta))/(2 a) ; e x_2 = (- b - sqrt(Delta))/(2 a) .

Como para esse polinômio a = 1 , b = 0 e c = - 9 o valor de Delta é:

Delta = b^2 - 4 a c = (0)^2 - 4.1 . - 9 = 36

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x_1 = (- (0) + sqrt(36))/(2.1) = (0 + 6)/(2) = 3

x_2 = (- (0) - sqrt(36))/(2.1) = (0 - 6)/(2) = - 3

Então a função troca de sinal nos pontos onde x = - 3 e x = 3 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio x^2 - 9 troca de sinal em x = - 3 e em x = 3 , então devemos ver os sinais antes e depois desses dois valores.

  • Para x = - 3 :
  • Testando para valores menores, por exemplo x = - 4 temos: ( - 4 )^2 - 9 > 0

    Testando para valores maiores, por exemplo x = 0 temos: 0^2 - 9 < 0

  • Para x = 3 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 0 , já vimos que a função assume valores negativos

Testando para valores maiores, por exemplo x = 4 temos: 4^2 + 9 > 0

Resumindo temos: antes de x = - 3 positivo, entre - 3 e 3 negativo e depois de 3 positivo novamente:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores negativos (não incluindo o zero!!) então o intervalo de interesse é entre x = - 3 e x = 3 e em ambos lados abertos:

- 3 < x < 3

Beleza?

Resposta

- 3 < x < 3

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