Enunciado

Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 4 9 da seção 14.7 .

Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c .

Passo 1

Queremos achar as dimensões x , y e z que maximizam o volume de uma caixa mas de modo que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c .

Assim, queremos maximizar a função

V = f x , y , z = x y z

com a restrição

4 x + y + z = c ⇒ x + y + z = c 4

Cada aresta aparece quatro vezes na caixa, assim a soma das arestas será 4 x + 4 y + 4 z .

Desta forma, queremos maximizar f sujeita à restrição

g x , y , z = x + y + z - c 4 = 0

Pelo método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f = λ   ∇ g

Passo 2

Tomando os gradientes:

∇ f = y z ,   x z ,   x y

∇ g = ( 1 ,   1 ,   1 )

Assim,

y z ,   x z ,   x y = λ   ( 1 ,   1 ,   1 )

Portanto,

y z = λ x z = λ x y = λ

Assim, tiramos que

y z = x z

Como as dimensões da caixa não pode ser zero, podemos simplificar z na equação, obtendo

x = y

Analogamete, igualando a segunda equação do sistema com a terceira:

x z = x y ⇒ y = z

Obtivemos então

x = y = z

Substituindo isso na restrição:

x + x + x = c 4 ⇒ x = y = z = c 12

Como esse é o único candidato obtido e pela natureza do problema existe um máximo, ele é o máximo! Assim, o volume é dado por

V = c 12 3

Resposta

x = y = z = c 12

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