Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 30
14.30. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 42
Passo 1
A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 42 da seção 7. O enunciado é esse:
“Determine três números positivos , e cuja a soma é 100 tal que seja máximo.”
Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma
Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer , mas ela é dada
Passo 2
Vamos calcular o divergente
E também precisamos do divergente de
Vamos começar fazendo
Olha só, tudo é igual a , então vai acontecer o seguinte
A gente pode simplificar essa equação, dessa forma, vamos dividir por
Vamos usar essa mesma ideia, e dividir por e
Vamos pegar só as duas primeiras para determinar
A gente pode dividir por
Isolando
Agora vamos determinar
Só cortar o
Então
E a gente deixa como nossa variável livre.
Passo 3
Agora vamos usar a equação de restrição
Substituindo
Agora a gente consegue achar um valor para , vamos colocar o em evidencia
Vamos juntar tudo dentro dos parênteses em uma única fração
Agora é só passar para o outro lado
Agora podemos determinar as outras variáveis
A gente corta o
E agora
De novo é só cortar o
E esse é nosso ponto de máximo.
Resposta
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