Enunciado

14.30. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 42

Passo 1

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 42 da seção 7. O enunciado é esse:

“Determine três números positivos x , y e z cuja a soma é 100 tal que x a y b z c seja máximo.”

Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma

g x , y , z = x + y + z = 1 00

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , mas ela é dada

f x , y , z = x a y b z c

Passo 2

Vamos calcular o divergente

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z >  

∇ f = < a x a - 1 y b z c ,   b x a y b - 1 z c ,   c x a y b z c - 1 >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z >  

λ ∇ g = < λ ,   λ ,   λ >

Vamos começar fazendo

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x

a x a - 1 y b z c = λ

∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y

  b x a y b - 1 z c = λ

∂ f ∂ z = λ ∂ g ∂ z

    c x a y b z c - 1 = λ

Olha só, tudo é igual a λ , então vai acontecer o seguinte

a x a - 1 y b z c = b x a y b - 1 z c = c x a y b z c - 1

A gente pode simplificar essa equação, dessa forma, vamos dividir por x a - 1

a y b z c = b x y b - 1 z c = c x y b z c - 1

Vamos usar essa mesma ideia, e dividir por y b - 1 e z c - 1

a y z = b x z = c x y

Vamos pegar só as duas primeiras para determinar x

a y z = b x z

A gente pode dividir por z

a y = b x

Isolando x

x = a y b

Agora vamos determinar z

b x z = c x y

Só cortar o x

b z = c y

Então

z = c y b

E a gente deixa y como nossa variável livre.

Passo 3

Agora vamos usar a equação de restrição

x + y + z = 100

Substituindo

a y b + y + c y b = 1 00

Agora a gente consegue achar um valor para y , vamos colocar o y em evidencia

y a b + 1 + c b = 1 00

y a + c b + 1 = 100

Vamos juntar tudo dentro dos parênteses em uma única fração

y a + c b + b b = 100

y a + b + c b = 100

Agora é só passar para o outro lado

y = 100 b a + b + c

Agora podemos determinar as outras variáveis

x = a y b

x = a b ⋅ 100 b a + b + c

A gente corta o b

x = 100 a a + b + c

E agora

z = c y b

z = c b ⋅ 100 b a + b + c

De novo é só cortar o b

z = 100 c a + b + c

E esse é nosso ponto de máximo.

Resposta

x = 100 a a + b + c

y = 100 b a + b + c

z = 100 c a + b + c

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16. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y , z = 3 x - y - 3 z ; x + y - z = 0 ; x 2 + 2 z 2 = 1
14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n ; x 1 2 + x 2 2 + …