Enunciado

Resolva o problema de contorno, se possível.

y^(' ') - 3 y^' + 2 y = 0 , y (0) = 1 , y (3) = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Começamos então supondo uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

A primeira e segunda derivadas são:

y^' (x) = A k e^(k t)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k x) - 3 k A e^(k x) + 2 A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k x) temos:

k^2 - 3 k + 2 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = (- ( - 3 ) +- sqrt(( - 3 )^2 - 4.1 . 2))/(2.1)

k = (3 +- sqrt(9 - 8))/(2) = (3 +- 1)/(2) :. k_1 = 2 , k_2 = 1

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 .

Como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas forma uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

y (x) = c_1 e^(2 x) + c_2 e^x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (0) = 1

y (3) = 0

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 1 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (1) = c_1 e^0 + c_2 e^0 = 1

Sendo assim temos:

[c_1 + c_2] = 1

Dalí tiramos o valor de c_1 :

c_1 = 1 - c_2

A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:

y (3) = c_1 e^6 + c_2 e^3 = 0

Substituindo c_1 temos uma expressão apenas com c_2 :

(1 - c_2) e^6 + c_2 e^3 = 0

c_2 (e^3 - e^6) = - e^6

c_2 = (- e^6)/(e^3 - e^6) = (e^3)/(e^3 - 1)

Mas sabemos que c_1 = 1 - c_2 , então substituindo o valor de c_2 ficamos com uma expressão apenas para c_1 :

c_1 = 1 - (e^3)/(e^3 - 1) = (- 1 + e^3 - e^3)/(1 - e^2) = (1)/(1 - e^3)

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = (1)/(1 - e^3) . e^(2 x) + (e^3)/(e^3 - 1) . e^x

y (x) = (e^(2 x))/(1 - e^3) + (e^(3 + x))/(e^3 - 1)

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = (e^(2 x))/(1 - e^3) + (e^(3 + x))/(e^3 - 1)

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