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Resolva o problema de contorno, se possível.

9 y ' ' - 18 y ' + 10 y = 0 ,       y 0 = 0 ,   y π = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Como primeiro passo, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

As derivadas de primeira e segunda ordem:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

9 k 2 A e k x - 18 k A e k x + 10 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

9 k 2 - 18 k + 10 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( - 18 ) ± ( - 18 ) 2 - 4.9 . 10 2.9

k = 1 ± 1 / 3 i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i e assim a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui achamos α = 1 e β = 1 / 3 . Vamos substituir os valores encontrados?

y x = e - x c 1 cos ⁡ 1 / 3 x + c 2 s e n 1 / 3 x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Bora lá!

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 0

y π = 1

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 2 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 0 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = 0

Sendo assim temos:

c 1 . 1 + c 2 . 0 = 0

Dalí tiramos o valor de c 1 :

c 1 = 0

A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:

y π = e π c 1 cos ⁡ π / 3 + c 2 s e n π / 3 = 1

Mas c 1 = 0 , então:

c 2 e π 3 / 2 = 1

Assim podemos determinar o valor de c 2 :

c 2 = 2 / 3 e π

Sim! Esse problema de contorno tem solução e juntando as constantes com a solução do passo 3 temos:

y x = e x 2 / 3 e π s e n 3 x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = e x 2 / 3 e π s e n 3 x

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Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 2 y ' = 0 ,