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Resolva o problema de valor inicial d v d t - 2 t v = 3 t 2 e t 2 ,   v 0 = 5 .

Passo 1

A EDO é linear, com P t = - 2 t e Q t = 3 t 2 e t 2 .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I t = e ∫ P t d t , ou seja I t = e ∫ - 2 t d t = e - t 2 .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( t ) , a solução v ( t ) é dada por v t = 1 I ( t ) ∫ I t Q t d t + C . Já sabemos que I t = e - t 2 e que Q t = 3 t 2 e t 2 .

Passo 4

Então precisamos calcular ∫ e - t 2 3 t 2 e t 2 d t = ∫ 3 t 2 d t = t 3 . Então v t = 1 e - t 2 t 3 + C .

Passo 5

Sabemos que v 0 = 5 . Então 1 e - 0 2 0 3 + C = 5 . segue que C = 5

Resposta

v t = t 3 e t 2 + 5 e t 2

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