Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

2 y^(' ') + y^' - y = 0

y (0) = 3 , y^' (0) = 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (t) = A k e^(k t)

y^(' ') (t) = A k^2 e^(k t)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

2 k^2 A e^(k t) + k A e^(k t) - A e^(k t) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

2 k^2 + k - 1 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- ( 1 ) +- sqrt(( 1 )^2 - 4.2 . - 1))/(2.2) = (- 1 +- sqrt(9))/(4)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (- 1 +- 3)/(4) = - (1)/(4) +- (3)/(4)

k^' = - (1)/(4) + (3)/(4) = (2)/(4) = 1 // 2

k^(' ') = - (1)/(4) - (3)/(4) = - (4)/(4) = - 1

Encontramos duas raízes reais e distintas. Agora basta substituir na solução supomos lá no início do passo 2 .

y (t) = A e^(((1)/(2)) t) + B e^(- t)

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (0) = 3

y^' (0) = 3

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 3 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (0) = A e^0 + B e^0 = 3

Sendo assim temos:

A + B = 3 :. A = 3 - B

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos:

y^' (x) = (1)/(2) A e^(((1)/(2)) t) + ( - 1 ) B e^(- t)

A condição de contorno nos diz que y^' (0) = 3 , então fazendo x = 0 temos:

A . ((1)/(2)) e^0 - B e^0 = 3

E simplificando temos:

(A)/(2) - B = 3

A - 2 B = 6

Mas sabemos que A = 3 - B , então ficamos com uma expressão apenas para B :

(3 - B) - 2 B = 6

3 - 3 B = 6

- 3 B = 3 :. B = - 1

E podemos achar o valor de A : A = 3 - B = 3 - (- 1) = 4

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (t) = 4 e^(((1)/(2)) t) - e^(- t)

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (t) = 4 e^(((1)/(2)) t) - e^(- t)

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