Resolva a equação ẏ = dy / dt e ÿ = (d^2y) / (dt^2)

j) d^2y/dt^2 + dy/dt + 3y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ + y ˙ + 3 = 0 → λ 2 e λ t + λ e λ t + e λ t = e λ t λ 2 + λ + 3 = 0

e λ t λ 2 + λ + 3 = 0 → λ 2 + λ + 3 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 1   e   c = 3 , assim:

λ ' e   λ " =   - 1 ± 1 2 - 4 1 3 2 1 = - 1 2 ± - 11 2    

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 1 2 ± 11 i 2 2 = - 1 2 ± 11 ( i ) 2 2 = - 1 2 ± 11 2 i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

y t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 1 2   e   β = 11 2

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

y t = e - 1 2 t A cos ⁡ 11 2 t + B sin ⁡ 11 2 t  

Resposta

y t = e - 1 2 t A cos ⁡ 11 2 t + B sin ⁡ 11 2 t  

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