Enunciado

Resolva a equação (overset(˙)(y) = (d y)/(d t) e overset(¨)(y) = (d^2 y)/(d t^2))

j ) (d^2 y)/(d t^2) + (d y)/(d t) + 3 y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) + overset(˙)(y) + 3 = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + lambda e^(lambda t) + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 3) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 3) = 0 -> lambda^2 + lambda + 3 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 1 e c = 3 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 (1) (3)))/(2 (1)) = - (1)/(2) +- (sqrt(- 11))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

- (1)/(2) +- (sqrt(11 i^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(11 ( i )^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(11))/(2) i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

y (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = - (1)/(2) e beta = (sqrt(11))/(2)

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

y (t) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(11))/(2) t + B sin (sqrt(11))/(2) t]

Resposta

y (t) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(11))/(2) t + B sin (sqrt(11))/(2) t]

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