Enunciado

21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

24. f x ,   y ,   z = x ln ⁡ ( y z ) ,   1 ,   2 , 1 2

Passo 1

A taxa de variação máxima de f ocorre quando a derivada direcional D u f é ∇ f , ou seja, basta encontrarmos o gradiente de f no ponto dado e depois tirar seu módulo pelo teorema de Pitágoras! O gradiente é dado por:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

Que são nada mais, nada menos do que as derivadas parciais de f . Descobrindo essas derivadas:

f x ,   y ,   z = x ln ⁡ ( y z )

f x = ln ⁡ ( y z )

f y = x z y z = x y

f z = x y y z = x z

∇ f x ,   y ,   z = ln ⁡ ( y z ) ,   x y , x z

Passo 2

O enunciado pede o gradiente no ponto 1 ,   2 , 1 2 , então:

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = ln ⁡ 2.1 2 ,   1 2 , 2

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 0 ,   1 2 , 2

Sendo assim, a taxa de variação máxima de f será em:

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 0 2 + 1 2 2 + 2 2

∴ ∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 17 2

Na direção 0 ,   1 2 , 2 . E está aí nosso resultado 😊!

Resposta

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 17 2

N a   d i r e ç ã o   0 ,   1 2 , 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que T x , y = 40 - x 2 -2 y 2 represente uma distribuição de temperatura no plano xy, (Admita que x e y sejam dados em km e a temperatura em ᵒC.) Um indivíduo encontra-se na posição (3,2) e pr
21-26. Determine a taxa de variação máxima f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.21. f ( x ,y ) = 4 y x ,( 4 ,1 )
21-26. Determine a taxa de variação máxima f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.23. f x ,y = s e nx y ,( 1 ,0 )
21-26. Determine a taxa de variação máxima f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.22. f s ,t = t e s t ,( 0 ,2 )
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x , y = 4 y x , 4 ,1