Enunciado

  1. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r , onde
  2. F x , y , z = x 2 z i + x y 2 j + z 2 k

    e C é a curva resultante do plano x + y + z = 1 e o cilindro x 2 + y 2 = 9 , orientado no sentido anti-horário vista de cima.

  3. Esboce o gráfico o plano e do cilindro com os domínios escolhidos, de modo que seja possível ver a curva C e a superfície usada na letra (a);
  4. Encontre as equações paramétricas para C e as use para esboçar o gráfico de C .

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

Na letra (a), queremos o valor de ∫ C F . d r , certo? Simbora calcular! Por definição,

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

onde F = P i + Q j + R k . Assim, temos:

r o t F = 0 - 0 i + x 2 - 0 j + y 2 - 0 k = x 2 j + y 2 k

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Sabemos que S faz parte do plano z = 1 - x - y e que D é a projeção da superfície no plano x y .

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S F . d S = ∬ D - 0 - 1 - x 2 - 1 + y 2 d A

∬ S F . d S = ∬ D [ x 2 + y 2 ] d A

D é a projeção de S no plano x y , certo? D vai ser a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 9 no primeiro quadrante. Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas cilíndricas, para facilitar nossa vida!

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Assim,

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 r d r d θ

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 3   d r d θ

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π r 4 4 0 3 d θ

Vamos lá que tá quase acabando!

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π 81 4 d θ

∬ S F . d S = 81 θ 4 0 2 π

∬ S F . d S = 81 × 2 π 4 = 81 π 2

Passo 3

Na letra (b) queremos o gráfico da interseção do plano e do cilindro, que resultam na curva C . Assim,

Passo 4

Na letra (c) nos é pedido uma parametrização para a curva C .

Aqui podemos fazer da seguinte forma:

x = r cos ⁡ t = 3 cos ⁡ t

y = r sin ⁡ t = 3 sin ⁡ t

Assim, a curva C parametrizada é igual a

C : z = 1 - 3 cos ⁡ t - 3 sin ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Resposta

  1. ∫ C F . d r = 81 π 2 ;
  2. C : z = 1 - 3 cos ⁡ t - 3 sin ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π
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Seja S o cilindro x 2 + y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ h . , juntamente com seu topo, x 2 + y 2 = a 2 , z = h . Seja F = - y i + x j + x 2 k . Utilize o teorema de Stokes para encontrar o fluxo exterior de ∇ × F
Calcule ∬ ∇ × y i ∙ n d σ Onde S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 .