- Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e  é a curva resultante do plano  e o cilindro , orientado no sentido anti-horário vista de cima.
- Esboce o gráfico o plano e do cilindro com os domínios escolhidos, de modo que seja possível ver a curva  e a superfície usada na letra (a);
- Encontre as equações paramétricas para  e as use para esboçar o gráfico de .
e é a curva resultante do plano e o cilindro , orientado no sentido anti-horário vista de cima.
Passo 1
Oi, galera! Tudo bem?
A questão tem 3 partes: a parte a) pede para usarmos o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha:
Onde o campo vetorial é:
e é a curva da intersecção do plano
com o cilindro
O Teorema de Stokes traz que:
Onde:
Ou seja, podemos calcular a integral dupla do rotacional de para obter o valor da nossa integral de linha. Aqui, é nosso vetor unitário perpendicular à superfície. Então nossa integral será:
Então, vamos precisar calcular o rotacional de , achar o valor do vetor e fazer o produto escalar entre eles. Daí, teremos uma integral dupla, que basta resolvermos para chegarmos no valor da integral de linha que o exercício pediu.
Depois, pede para traçarmos o gráfico do plano e do cilindro para visualizarmos a curva da parte a). Daí vamos pra parte c), onde vamos precisar parametrizar essa curva e traçar o gráfico de usando essas equações paramétricas.
Bora lá!
Passo 2
- 
Vamos começar achando o vetor normal da nossa superfície: curva de fronteira está no plano Ou: Se temos um plano com equação: O vetor normal a esse plano é dado por: Aqui, comparando com nosso plano: Temos: Então nosso vetor será: Pronto! Temos nosso vetor normal. Passo 3Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de : Fazendo o produto vetorial dessa matriz: Fazendo as derivadas parciais, ficamos com: O produto vetorial entre e fica: Passo 4Substituindo na nossa integral: Ficamos com: Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. No plano , temos: A projeção no plano é um círculo de raio . Como temos uma circunferência completa, de raio , centrada na origem, os limites de integração são: E o elemento de área vai ser: Também usamos a equação: Então, nossa integral se torna: Passo 5Agora é calcularmos a integral: Multiplicando os termos: Começando pela integral em que é a integral de dentro: Aplicando os limites de integração: Finalizando a integral em e aplicando os limites de integração: Passo 6
- Vamos para a parte b). Plotando o gráfico do cilindro
- Fazemos agora a parametrização dessa curva . Ela é dada pela interseção das curvas:
e do plano
Temos:

A interseção entre o cilindro e o plano é justamente a curva da nossa integral de linha:

Passo 7
e
A parametrização do cilindro pode ser dada por coordenadas cilíndricas. Com , temos:
Com
Agora vamos encontrar o valor de em termos de . Substituindo e na equação do plano:
Isolando, ficamos com:

Então nossas equações paramétricas são:
