Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

O primeiro passo que pode ser feito para encontrar a solução do P.V.I. é integrar a expressão diferencial que o enunciado fornece.

Em seguida, deve aplicar as condições iniciais para a primeira derivada a fim de encontrar o valor da primeira constante que irá aparecer.

Após isso, deve-se integrar novamente a equação, cujo resultado da integral irá nos dar a função primitiva da derivada de segunda ordem e na qual podemos substituir os outros valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

d 2 y d x 2 = 2 - 6 x

d y d x = ∫ 2 - 6 x d x = 2 x - 3 x 2 + C 1

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que y ' = 4 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a primeira derivada. Logo:

d y d x = 2 x - 3 x ² + C 1

4 = 2 0 - 3 0 ² + C 1 ∴ C 1   = 4

Então, a equação da primeira derivada é y ' = 2 x - 3 x ² + 4 .

Passo 4

Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da função primitiva:

d y = 2 x - 3 x 2 + 4 d x

y = ∫ 2 x - 3 x 2 + 4 d x = x 2 - x 3 + 4 x + C 2

Passo 5

O exercício nos dá outra condição inicial na qual diz que y = 1 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação final. Logo:

y = x 2 - x 3 + 4 x + C 2

1 = 0 2 - 0 3 + 4 0 + C 2 ∴ C 2   = 1

Então, a equação correta é y = x 2 - x 3 + 4 x + 1 .

Resposta

A solução do P.V.I. é y = x 2 - x 3 + 4 x + 1 .

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