Enunciado

Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de 8 × 15   p o l . , recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o maior volume?

Passo 1

Vamos primeiro entender como é a situação. Ele pegou uma folha e cortou quadrados nas pontas. Se chamarmos de x o lado desse quadrado, podemos ver na figura abaixo como fica representado esse corte:

Peeeeera, mas o que é aquele 15 - 2 x e o 8 - 2 x ?

Repare que a caixa tem medida de 8 × 15 , quando tiramos um quadrado de cada canto, vamos tirar x de medida em cada canto também. Então, a nossa caixa tem medidas:

A l t u r a = x

C o m p r i m e n t o = 8 - 2 x

L a r g u r a = 15 - 2 x

E seu volume vai ser o produto dessas 3 medidas.

Passo 2

Vamos ter que a fórmula do volume vai ser

V x = x 8 - 2 x 15 - 2 x

Abrindo essa conta, vamos ter:

V x = 120 x - 46 x 2 + 4 x 3

Só um pequeno detalhe, aquele x tem um intervalo que ele vale. Isso porque ele é uma medida, então precisa ser positiva.

Além disso, os dois lados da caixa precisam ser positivos, fazendo com que:

8 - 2 x > 0

E

15 - 2 x > 0

Assim, vamos ter

8 - 2 x > 0 → 2 x < 8 → x < 4

15 - 2 x > 0 → 2 x < 15 → x < 7,5

Assim, devemos ter:

0 < x < 4

Passo 3

Para achar o maior possível, temos que achar o ponto de máximo de V x .

Para isso, temos que ver se existe algum ponto de máximo ou mínimo no intervalo de x e comparar com os valores extremos do intervalo de x

Vamos começar achando a derivada:

V ' x = 120 - 92 x + 12 x 2

Ela vai ser 0 em:

120 - 92 x + 12 x 2 = 0

Vamos começar dividindo todo mundo por 4

3 x 2 - 23 x + 30 = 0

Aplicando Bhaskaras:

x = - - 23 ± - 23 2 - 4 30 3 2.3

x = 23 ± 169 6

x = 23 ± 13 6

Teremos:

x = 6

Ou

x = 10 6 = 5 3

Apenas o segundo valor está no intervalo de x que queremos, então vamos focar só nele como ponto crítico.

Passo 4

Achamos o nosso ponto crítico. Vamos usar o teste da segunda derivada para conferir se ele é máximo ou mínimo ou nada rs

V ' ' x = 24 x - 92

Vamos ver o valor da segunda derivada em 5 3 .

V ' ' 5 3 = 24 5 3 - 92

V ' ' 5 3 = 40 - 92

V ' ' 5 3 = - 52

Como a derivada deu negativa, pelo teste da segunda derivada, x = 5 3 é valor de máximo local.

Passo 5

Vamos comparar agora os valores de A x em 0,4 , 5 3 , que são os extremos do intervalo e o máximo local. Vamos usar a fórmula antes de fazer a distribuitiva porque é mais fácil de fazer conta:

V x = x 8 - 2 x 15 - 2 x

V 0 = 0 8 - 2 0 15 - 2 0 = 0

V 4 = 4 8 - 2 4 15 - 2 4 = 4 8 - 8 15 - 8 = 4.0 . 7 = 0

V 5 3 = 5 3 8 - 2 5 3 15 - 2 5 3 = 5 3 8 - 10 3 15 - 10 3 =

V 5 3 = 5 3 24 - 10 3 45 - 10 3 = 5 3 14 3 35 3 = 2450 2 7

Então vamos ter que a área máxima é 5 3 .

Vamos achar as dimensões do retângulo.

A l t u r a = x

C o m p r i m e n t o = 8 - 2 x

L a r g u r a = 15 - 2 x

Fazendo x = 5 3

A l t u r a = 5 3

C o m p r i m e n t o = 8 - 2 5 3 = 14 3

L a r g u r a = 15 - 2 5 3 = 35 3

Resposta

V m á x = 2450 27

A l t u r a = 5 3   p o l .

C o m p r i m e n t o = 14 3   p o l .

L a r g u r a = 35 3   p o l .

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