Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

Como o enunciado nos dá uma equação diferencial de 4ª ordem, deve-se fazer a integral da mesma quatro vezes e, no resultado de cada uma delas, aplicar os valores de condição inicial para encontrar o valor das constantes que irão surgir no resultado de cada integral indefinida.

O resultado da quarta integral irá nos dar a função primitiva da derivada de quarta ordem, na qual podemos substituir os últimos valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

y ( 4 ) = - cos ⁡ x + 8 s e n 2 x

y ' ' ' = ∫ - cos ⁡ x + 8 s e n 2 x d x = - s e n x - 4   c o s 2 x + C 1

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que y ' ' ' = 0 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a terceira derivada. Logo:

y ' ' ' = - s e n x - 4   c o s 2 x + C 1

0 = - s e n 0 - 4 cos ⁡ 2 0 + C 1 ∴   C 1 = 4

Então, a equação da terceira derivada é y ' ' ' = - s e n x - 4   c o s 2 x + 4 .

Passo 4

Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da segunda derivada:

y ' ' ' = - s e n x - 4   c o s 2 x + 4

y ' ' = ∫ - s e n x - 4   c o s 2 x + 4 d x = c o s x - 2   s e n 2 x + 4 x + C 2

Passo 5

O exercício nos dá uma segunda condição inicial na qual diz que y ' ' = 1 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação da segunda derivada. Logo:

y ' ' = c o s x - 2   s e n 2 x + 4 x + C 2

1 = cos ⁡ 0 - 2   s e n 2 0 + 4 0 + C 2 ∴ C 2   = 0

Então, a equação da segunda derivada é y ' ' = c o s x - 2   s e n 2 x + 4 x .

Passo 6

Mais uma vez, deve-se fazer a integral:

y ' ' = c o s x - 2   s e n 2 x + 4 x

y ' = ∫ c o s x - 2   s e n 2 x + 4 x d x = s e n x + c o s 2 x + 2 x 2 + C 3

Passo 7

Neste passo, aplicamos a próxima condição inicial na qual diz que y ' = 1 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da terceira constante e, assim, saber qual é a primeira derivada. Logo:

y ' = s e n x + c o s 2 x + 2 x 2 + C 3

1 = s e n 0 + cos ⁡ 2 0 + 2 0 2 + C 3 ∴ C 3   = 0

Então, a primeira derivada é y ' = s e n x + c o s 2 x + 2 x 2 .

Passo 8

Finalmente, deve-se fazer a última integral:

y ' = s e n x + c o s 2 x + 2 x 2

y = ∫ s e n x + c o s 2 x + 2 x 2 d x = - c o s x + s e n 2 x 2 + 2 x 3 3 + C 4

Passo 9

Neste passo, aplicamos a última condição inicial na qual diz que y = 3 quando x = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da quarta constante e, assim, saber qual é a função desejada. Logo:

y = - c o s x + s e n 2 x 2 + 2 x 3 3 + C 4

3 = - cos ⁡ 0 + s e n 2 0 2 + 2 0 3 3 + C 4 ∴ C 4   = 4

Então, a equação desejada é y = - c o s x + s e n 2 x 2 + 2 x 3 3 + 4 .

Resposta

A solução do P.V.I. é

y = - c o s x + s e n 2 x 2 + 2 x 3 3 + 4

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