Enunciado

Seja alpha != 0 um real fixo. Verifique que

  1. int sen alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k
  2. int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sen alpha x + k

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que aquelas igualdades são verdadeiras. Isso significa que nós vamos precisar resolver as integrais indefinidas das funções trigonométricas que foram dadas e verificar se o resultado bate com aquele do lado direito da igualdade.

Pra facilitar a nossa vida, na hora de resolver essas integrais, vamos usar o método da substituição simples e chamar:

u = alpha x

Assim, para os dois casos, teremos a diferencial:

d u = alpha x

Daí basta substituir na integral e verificar o valor obtido.

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos:

int sen alpha x d x

Então, usando a substituição vista no passo 1 , vamos ficar com:

int (sen u)/(alpha) d u

E colocando a constante do lado de fora da integral:

(1)/(alpha) int sen u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas, que é:

int sen x d x = - cos x + C

E aplicando, teremos:

(1)/(alpha) int sen u d u = (1)/(alpha) (- cos u) + C

= - (1)/(alpha) cos u + C

Mas, lembra que definimos u = alpha x no passo 1 ? Então, na verdade teremos:

- (1)/(alpha) cos alpha x + C

Que corresponde ao resultado dado no item. Portanto, a igualdade é verdadeira.

Passo 3

Agora para o item b), vamos usar a mesma substituição ( u = alpha x -> d u = alpha x ) para obter:

int cos alpha x d x = int (cos u)/(alpha) d u

= (1)/(alpha) int cos u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos x d x = sen x + C

E aplicando, teremos:

(1)/(alpha) int cos u d u = (1)/(alpha) sen u + C

Só falta colocarmos tudo em função de x de novo:

(1)/(alpha) sen u + C = (1)/(alpha) sen alpha x + C

Que também satisfaz a equação dada no item b). Portanto, a igualdade também é verdadeira.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

  1. int sen alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k
  2. int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sen alpha x + k
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l) int (x + (1)/(x)) d x
p)int ( root(3)(x) + cos 3 x )^() d x
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