Resolva os problemas de valor inicial.

dy/dt = sec^2(t) - sen(t) , y(pi / 4) = 1

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente primeiro precisa encontrar a função y , pra isso, é só a gente integrar, e ficamos assim:

y = ∫ sec 2 ⁡ t - sin ⁡ t d t

Vamos separar as integrais, a gente pode fazer isso por causa daquela propriedade da soma, então fica:

y = ∫ sec 2 ⁡ t   d t - ∫ sin ⁡ t   d t

E resolvemos:

y = tan ⁡ t - ( - cos ⁡ t ) + C

→ y = tan ⁡ t + cos ⁡ t + C

Passo 2

Beleza, agora o problema de valor inical, a gente usa o que temos para formar uma equação e encontrar-mos o valor da constante C :

y π 4 = 1 = tan ⁡ π 4 + cos ⁡ π 4 + C

→ 1 = 1 + cos ⁡ π 4 + C

→ C = 1 - 1 - cos ⁡ π 4 = - cos ⁡ π 4  

Passo 3

Show de bola pessoal, por fim a gente só substitui na integral que já calculamos no passo 1, e então ficamos com a função inicial:

y t = tan ⁡ t + cos ⁡ t - cos ⁡ π 4

Resposta

y t = tan ⁡ t + cos ⁡ t - cos ⁡ π 4

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