Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial.

(d y)/(d t) = sec^2 t - sin t , y ((pi)/(4)) = 1

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente primeiro precisa encontrar a função y , pra isso, é só a gente integrar, e ficamos assim:

y = int sec^2 t - sin t d t

Vamos separar as integrais, a gente pode fazer isso por causa daquela propriedade da soma, então fica:

y = int sec^2 t d t - int sin t d t

E resolvemos:

y = tan t - ( - cos t ) + C

-> y = tan t + cos t + C

Passo 2

Beleza, agora o problema de valor inical, a gente usa o que temos para formar uma equação e encontrar-mos o valor da constante C :

y ((pi)/(4)) = 1 = tan ((pi)/(4)) + cos ((pi)/(4)) + C

-> 1 = 1 + cos ((pi)/(4)) + C

-> C = 1 - 1 - cos ((pi)/(4)) = - cos ((pi)/(4))

Passo 3

Show de bola pessoal, por fim a gente só substitui na integral que já calculamos no passo 1, e então ficamos com a função inicial:

y (t) = tan t + cos t - cos ((pi)/(4))

Resposta

y (t) = tan t + cos t - cos ((pi)/(4))

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