Resolve a integral abaixo:

27 –

∫ π / 3 π / 2 s e n 2 x 1 - cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos aos passos deste exercício, primeiramente, multiplicaremos os numerador e o denominador por 1 + cos ⁡ x

∫ π 3 π 2 s e n 2 x 1 - cos ⁡ x ⋅ 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x =  

Fazendo por partes as multiplicações:

s e n 2 x ⋅ 1 + cos ⁡ x = s e n 2 x   1 + cos ⁡ x e

1 - cos ⁡ x ⋅ 1 + cos ⁡ x = a - b a + b = a 2 - b 2 ,   a s s i m =   1 - cos 2 ⁡ x

Deste modo temos:

∫ π / 3 π / 2 s e n 2 x 1 + cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x d x

Dada a identidade trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x assim temos:

∫ π / 3 π / 2 s e n 2 x 1 + cos ⁡ x s e n 2 x 2 d x = ∫ π / 3 π / 2 s e n 2 x 1 + cos ⁡ x s e n   x d x

Simplificano o seno temos: s e n 2 x s e n 1   x = s e n 2 - 1   x = s e n   x  

∫ π / 3 π / 2 s e n   x   1 + cos ⁡ x   d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral pelo método de substituição udu:

u = 1 + cos ⁡ x

d u =   - s e n   x

d x = 1 d u =   - 1 s e n   x

Substituindo na integral:

∫ π / 3 π / 2 s e n   x   u ⋅ - 1 s e n   x d x = ∫ π / 3 π / 2 u ⋅ - s e n   x s e n   x d x =   ∫ π / 3 π / 2 u ⋅ - 1 d x = - ∫ π / 3 π / 2 u   d x

Dada a propriedade de potencia em que:

u = u 1 2

- ∫ π 3 π 2 u 1 2   d x

Resolvendo a integral como indefinida:

- ∫ u 1 2 d u =   - u 1 2 + 1 1 2 + 1 =   - u 3 2 3 2 = - u 3 2 ⋅ 2 3 =   - 2 u 3 2 3 + c

Para u = 1 + cos x temos:

- 2   ( 1 + cos ⁡ x ) 3 2 3 + c

Temos que: ( 1 + cos ⁡ x   ) 3 = ( 1 + cos ⁡ x ) 2 * ( 1 + cos ⁡ x )

- 2 1 + cos ⁡ x ⋅ ( 1 + cos ⁡ x ) 2 2 3 =   - 2 ( 1 + cos ⁡ x ) ⋅ 1 + cos ⁡ x 3 = - 2 3 ( 1 + cos ⁡ x ) ⋅ 1 + cos ⁡ x +   c

Passo 3

Realizando os limites de integração:

- 2 3 ( 1 + cos ⁡ x ) ⋅ 1 + cos ⁡ x +   c π / 3 π / 2

Substituindo os limites de integração:

- 2 3 1 +  cos  π 2 ⁡ ⋅ 1 + cos ⁡ π 2 +   c   - - 2 3 1 + cos ⁡ π 3 ⋅ 1 + cos ⁡ π 3 + c

Dado: cos ⁡ π 2 =   0   e   c o s π 3 = 1 2

Substituindo:

- 2 3 1 +   0 ⁡ ⋅ 1 + 0 +   c   - - 2 3 1 + 1 2 ⋅ 1 + 1 2 + c

- 2 3 + c - - 2 3 - 2 6 ⋅ 3 2 + c = - 2 3 + c + 2 3 + 2 6 ⋅ 3 2 - c

Organizando os temos:

Mmc (3,6) = 6

- 2 3 + 6 6 ⋅ 3 2 =   - 2 3 + 3 2

Resposta

- 2 3 + 3 2

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