r) ∫ π 3 π 2 s e n x ( 1 - cos 2 ⁡ x )   d x  

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável! Veja que é bem legal chamar u de cos ⁡ x , pois quando derivamos vai aparecer s e n ( x ) que é o termo que tá multiplicando

u =   cos ⁡ x       ( * )

Derivando,

d u =   - s e n x   d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = π 3 → u = c o s π 3 = 1 2

x = π 2 → u = c o s π 2 = 0  

Quando derivamos apareceu d u =   - s e n x   d x que é basicamente - d u = s e n x   d x

Nossa integral era:

∫ π 3 π 2 s e n x ( 1 - cos 2 ⁡ x )   d x   =   ∫ π 3 π 2 ( 1 - cos 2 ⁡ x ) s e n x   d x  

e vai ficar assim ó:

∫ 0 1 2 1 - u 2 - d u =   - ∫ 0 1 2 1 - u 2 d u =   ∫ 0 1 2 d u - ∫ 0 1 2 u 2 d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

Passo 3

Agora vamos fazer aquelas integrais que já conhecemos e acabou!

∫ 0 1 2 d u - ∫ 0 1 2 u 2 d u   = u | 0 1 2 - u 3 3 | 0 1 2 = 1 2 - 0 - 1 8 ⋅ 3 - 0 3 = 1 2 - 1 24 = 11 24

Resposta

11 24

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