u)   ∫ 0 π 6 cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Essa é uma questão bem importante, pois a ideia dela serve para diversas outras!

Fica Esperto: Quando você tiver um c o s n x e n for ímpar, a ideia é a seguinte:

u = s e n x       *

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 ( x )

Derivando ( * ) ,

d u =   c o s x   d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Vamos com calma pra não confundir!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0   → u = s e n 0 = 0

x = π 6   → u = s e n π 6 = 1 2  

Repare que quando derivamos apareceu d u = cos ⁡ x d x

Nossa integral era:

∫ 0 π 6 cos 3 ⁡ x d x =   ∫ 0 π 6 cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

agora vamos usar a ideia:

∫ 0 π 6 1 - s e n 2 x cos ⁡ x d x

mudando pra u :

∫ 0 1 2 1 - u 2 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

Passo 3

Essa foi difícil, mas já ta acabando!

∫ 0 1 2 d u - ∫ 0 1 2 u 2 d u   = u | 0 1 2 - u 3 3 | 0 1 2 = 1 2 - 0 - 1 8 ⋅ 3 - 0 3 = 1 2 - 1 24 = 11 24

Resposta

11 24

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