Resolve a integral abaixo:

31 –

∫ 0 π / 2 x 1 - cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Utilizando o método de substituição udu vdv

u = x

d u = 1   d x

d x = 1 d u = 1

d v =   1 - c o s ⁡ ( 2 x )   d x

v =   ∫ 1 - cos ⁡ 2 x d x

Achando o valor de v utilizando as seguintes propriedades:

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 s e n 2 x

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

∫ 1 - ( 1 - 2   s e n 2 x ) d x =   ∫ 1 - ( 1 - 2   ( 1 - cos 2 ⁡ x ) d x =   ∫ - 1 + 2 ( 1 - cos 2 ⁡ x ) + 1 d x  

Simplificando :

∫ 2 ( 1 - cos 2 ⁡ x ) d x = 2   ∫ 1 - cos 2 ⁡ x d x

Seja: 1 - cos 2 ⁡ x = s e n 2 x

2 ∫ s e n 2 x d x =   2 ∫ s e n   x   d x

Seja:

∫ s e n   x   d x =   - cos ⁡ x   :   - 2 cos ⁡ x

Logo:

v =   - 2 cos ⁡ x

Passo 2

∫ u   d v =   u v - ∫ v   d u

∫ x 1 - cos ⁡ ( 2 x ) d x = - x 2 cos ⁡ x -   ∫ - 2 cos ⁡ x   d x

Resolvendo e organizando:

- x 2 cos ⁡ x + 2   ∫ cos ⁡ x   d x

Resolvendo:

∫ cos ⁡ x   d x = s e n   x

- x 2 cos ⁡ x +   2   s e n   x + c

Passo 3

Resolver através dos limites de integração:

- x 2 cos ⁡ x + 2   s e n   x 0 π 2

Substituindo os limites temos:

- π 2 2 ⋅ cos ⁡ π 2 + 2   s e n π 2 - - 0 ⋅ 2 cos ⁡ 0 + 2   s e n 0  

Dado:

cos ⁡ π 2 = 0 ; s e n   π 2 =   1   ; cos ⁡ 0 = 1   ;     s e n   0 = 0

- π 2 2 ⋅ 0 +   2 ⋅ 1 - - 0 + 0 = 2

Resposta

2  

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