Resolve a integral abaixo:

43 –

∫ π 4 π 2 csc 4 ⁡ θ   d θ

Passo 1

Dada a fórmula:

∫ csc n ⁡ θ = - cos ⁡ x csc n - 1 ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ csc n - 2 ⁡ x   d x

Substituindo na Integral e considerando ela como indefinda:

∫ csc 4 ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ csc 3 ⁡ θ 3 + 2 3 ∫ csc 2 ⁡ θ   d θ  

Sendo a integral:

∫ csc 2 ⁡ θ =   - c o t ⁡ ( θ )

Subsituindo na fórmula:

∫ csc 4 ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ csc 3 ⁡ θ 3 + 2 3 - cot ⁡ θ + c

Passo 2

Resolvendo a multiplicação da inegral:

- cos ⁡ θ csc 3 ⁡ θ 3 - 2 c o t ⁡ ( θ ) 3 + c

Resolvendo integral em seus limites:

- cos ⁡ θ csc 3 ⁡ θ 3 π / 4 π / 2 + c = - cos ⁡ π 2 csc 3 ⁡ π 2 3 + c - - cos ⁡ π 4 csc 3 ⁡ π 4 3 + c = 0 -

Substituindo nos limites:

- cos ⁡ π 2 csc 3 ⁡ π 2 3 - 2 cot ⁡ π 2 3 + c - - cos ⁡ π 4 csc 3 ⁡ π 4 3 - 2 cot ⁡ π 4 3 + c

Passo 3

Dado:

cos ⁡ π 2 = 0 ; cos ⁡ π 4 = 2 2 ; csc ⁡ π 2 = 1 ; csc 3 ⁡ π 4 = 2 2 ; cot ⁡ π 2 = 0 ; cot ⁡ π 4 = 1

Substituindo nos limites temos:

- 0 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 0 3 + c - - 2 2 2 ⋅ 2 3 - 2 ⋅ 1 3 + c

Resolvendo a operação temos:

c - - 2 2 ⋅ 2 2   3 - 2 3 + c = c - 4 2 3 - 2 3 + c = c - - 2 3 - 2 3 + c = c + 2 3 + 2 3 - c = 4 3

Resposta

4 3

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