Resolve a integral abaixo:

36 –

∫ sec 3 ⁡ x   t g 3   x   d x

Passo 1

∫ sec 3 ⁡ x   t g 3   x   d x

Seja pela forma da trogonometria:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x   e   t g   x = s e n x cos ⁡ ( x )

∫ 1 cos ⁡ x 3 s e n x cos ⁡ x 3 d x = ∫ 1 cos ⁡ ( x ) * s e n x cos ⁡ x 3 d x = ∫ s e n x cos 2 ⁡ x 3 d x      

Resolvendo a potência temos:

∫ s e n x 3 cos 2 ⁡ ( x ) 3 d x = ∫ s e n 3 x cos 6 ⁡ x d x

Passo 2

Utilizando o método de substituição udu:

u = cos ⁡ x

d u =   - s e n   x

d x = 1 d u = - 1 s e n   x

∫ s e n 3 x u 6 ⋅ - 1 s e n   x d u = ∫ - s e n 3 x u 6 ⋅ s e n   x   d u = ∫ - s e n 2 x u 6 d u

Dado a identidade trigonométrica: s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

∫ - 1 - cos 2 ⁡ x u 6   d u =   ∫ - 1 - u 2 u 6 d u =   - ∫ 1 - u 2 u 6 d u

Separando as frações, teremos:

1 u 6 - u 2 u 6

- ∫ 1 u 6 - u 2 u 6 d u

- ∫ u - 6 - u 2 - 6 d u = - ∫ u - 6 - u - 4 d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

- u - 6 + 1 - 6 + 1 - u - 4 + 1 - 4 + 1 + c

Resolvendo os cálculos e multiplicando a operação por -, teremos:

u - 5 5 - u - 3 3 + c = 1 5 u - 5 - 1 3 u - 3 + c = 1 5 ⋅ 1 u 5 - 1 3 ⋅ 1 u 3 + c

Subsituindo, dado u = cos ⁡ x

1 5 ⋅ 1 cos 5 ⁡ x - 1 3 ⋅ 1 cos 3 ⁡ x + c

Dado:

1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

Substituindo:

1 5 sec 5 ⁡ x - 1 3 sec 3 ⁡ x + c

Resposta

1 5 sec 5 ⁡ x - 1 3 sec 3 ⁡ x + c

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