Enunciado

a) Resolvendo a equação para d y d x , mostre que as equações das trajetórias do pêndulo sem amortecimento do Problema 19 podem ser escritas na forma

y 2 2 + ω 2 1 - c o s x = c                           i

onde c é a constante de integração.

b) Multiplique a Eq. (i) por m L 2 e depois expresse o resultado em termos de θ para obter

m L 2 2 d θ d t 2 + m g L 1 - c o s θ = E                                             i i

onde E = m L 2 c .

c) Mostre que o primeiro termo na Eq (ii) é a energia cinética dos pêndulo e que o segundo termo é a eergia potencial devida à gravidade. Logo, a energia total E do pêndulo pe constante ao longo de qualquer trajetória; seu valor é determinado pelas condições iniciais.

Passo 1

a) A trajetória do sistema no problema 19 são soluções da equação diferencial

d y d x = - ω 2 s e n x y

que pode ser escrita como   ω 2 s e n x   d x + y   d y = 0 . O resultado da EDO é exato, com

∂ H ∂ x = ω 2 s e n x   e   ∂ H ∂ y = y

Integrando a primeira equação nós encontramos que H x , y = - ω 2 c o s x + f y . Isso nos da que

∂ H ∂ y = f ' y .

Comparando as derivadas parciais nós obtemos f y = y 2 2 + C . Logo as soluções são as curvas de nível da função.

H x , y = - ω 2 c o s x + y 2 2

Adicionando uma constante arbitraria, digamos ω 2 ,   a função H ( x , y ) não muda a natureza das curvas de nível. Logo, a trajetória pode ser escrita como

1 2 y 2 + ω 2 1 - c o s x = c

Passo 2

b) Multiplicando por m L 2 e revertendo para a variável física original, nós obtemos

m L 2 2 d θ d t 2 + m L 2 ω 2 1 - c o s θ = m L 2 c

Como ω 2 = g L , a equação pode ser escrita como

m L 2 2 d θ d t 2 + m g L 1 - c o s θ = E

onde E = m L 2 c

Passo 3

c) A velocidade absoluta do ponto é dado por

v = L d θ d t .

A enerfica cinética é

T = m v 2 2

Escolhendo o ponto de repouso como o nível de zero energia potencial, a energia potencial gravitacional do ponto é

V = m g L 1 - c o s θ

Isso nos da que a energia total, T + V é uma constante ao longo da trajetória.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 5 a 18:(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.(c) Encontre os autovalor
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Encontre os pontos críticos.
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