Enunciado

Considere o sistema autônomo

d x d t = y , d y d t = x + 2 x 3

a) Mostre o que o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.

b) Esboce as trajetórias para o sistema linear correspondente integrando a equação para d y d x . Mostre, da forma paramétrica da solução, que a única trajetória na qual x → 0 ,   y → 0 quando t → ∞ é y = - x .

c) Determine as trajetórias para o sistema não linear integrando a equação para d y d t .   Esboce as trajetórias para o sistema não linear que correspondem a y = - x e a y = x para o sistema linear.

Passo 1

a) O a matriz jacobiana é:

J = 0 1 1 + 6 x 2 0

Na origem o coeficiente matriciano do sistema linearizado é

J 0,0 = 1 0 0 1

Os autovalores complexo r 1 = 1   e   r 2 = - 1 . Os autovalores são reais e com sinal oposto. Logo o ponto crítico é um ponto de sela.

Passo 2

b) As trajetórias do sistema linearizado são solução da equação diferencial

d y d x = x y

que é uma EDO separável. Integrando ambos os lados da equação x d x - y d y = 0 , a solução é x 2 - y 2 = C . A trajetória consiste numa da família das hipérboles.

Dá pra percebermos que a solução geral vai ser dada por x t = c 1 e t + c 2 e - t e y t = c 1 e t - c 2 e - t . A única solução consiste naquelas que c 1 = 0 . Neste caso, x t = c 2 e - t = - y t .

Passo 3

c) A trajetória do sistema dado são soluções da equação diferencial

d y d x = x + 2 x 3 y

que pode também ser escrito como x + 2 x 3 d x - y d y = 0 . O resutado da EDO é exato.

∂ H ∂ x = x + 2 x 3   e   ∂ H ∂ y = - y

Integrando a primeira equação nós encontramos a equação H x , y = x 2 2 + x 4 2 + f y . Isso nos da que

∂ H ∂ y = f ' y

Comparando as derivadas parciais nós obtemos f y = - y 2 2 + c . Logo as soluções são as curvas de nível da função

H x , y = x 2 2 + x 4 2 - y 2 2

As trajetórias se aproximando ou divergindo da origem não são mais linhas retas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 5 a 18:(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.(c) Encontre os autovalor
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