Enunciado

Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut.

  1. x y y ' + y 2 = 2 x
  1. 2 x y y ' + y 2 = 2 x 2
  2. y   d x + x   d y = 0
  3. x 2 + 2 y x d x = ( 3 - ln ⁡ x 2 )   d y

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos classificar essas EDOs aí, sem resolver.

  1. Primeiro essa:

x y y ' + y 2 = 2 x

Veja que podemos escrever da seguinte forma:

y ' + y 2 x y = 2 x x y

y ' + y x = 2 y

Essa é uma equação de Bernoulli! 😉

Passo 2

j )   2 x y y ' + y 2 = 2 x 2

Vamos dividir tudo por 2 x y :

y ' + y 2 2 x y = 2 x 2 2 x y

y ' + y 2 x = 1 y

Essa também é uma equação de Bernoulli!

(ela também é homogênea e exata, se quiser acrescentar...)

Passo 3

k) y   d x + x   d y = 0

Veja que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

1 = 1

Então ela é uma equação exata.

Podemos também escrever assim:

y   d x = - x   d y

- d x x = d y y

E veremos que ela também é separável.

E ainda:

x d y d x = - y

y ' + y x = 0

Essa é uma equação linear.

E ela também é homogênea.

Então aqui temos uma 4 em 1: exata, separável, linear e homogênea.

Passo 4

l )   x 2 + 2 y x d x = ( 3 - ln ⁡ x 2 )   d y

x 2 + 2 y x d x - ( 3 - ln ⁡ x 2 )   d y = 0

Vamos verificar se ela é exata:

∂ M ∂ y = 2 x

∂ N ∂ x = 1 x 2 ⋅ 2 x = 2 x

Então ela é exata!

Resposta

  1. Bernoulli
  2. Bernoulli, homogênea e exata.
  3. Exata, separável, linear e homogênea
  4. Exata.
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